Банковские процентные функции

Вид Процент Дисконт Банковский учёт
Простой S = S0 (1 + pn / 100) S0 = S / (1 + pn / 100) S = Sn (1 − pn / 100)
Сложный S = S0 (1 + p / 100)n S0 = S / (1 + p / 100)n S = Sn (1 − p / 100)n
Неоднократно начисляемый сложный S = S0 (1 + p / m / 100)mn S0 = S / (1 + p / m / 100)mn
Непрерывно начисляемый S = S0 epn / 100 S0 = S / epn / 100
Простая эффективная ставка pef = 100((1 + pn / 100)1/n − 1)
Сложная эффективная ставка pef = 100((1 + p / m / 100)m − 1)

Использование

Для выбора нужной функции нажимается клавиша БП, а затем дважды — соответствующая функции клавиша:

Для вычисления процентов, дисконтов и банковских учётов аргументы задаются так: S0 или S или Sn → #Z, p → #Y, n → #X. При вводе данных с клавиатуры: S0 или S или Sn В↑ p В↑ n.

Для неоднократно начисляемого процента / дисконта добавляется аргумент m: S0 или S или Sn → #T, p → #Z, n → #Y, m → #X. При вводе данных с клавиатуры: S0 или S или Sn В↑ p В↑ n В↑ m.

Для вычисления дисконта n указывается со знаком −.

Для вычисления S по Sn в банковском учёте p указывается со знаком −; для вычисления Sn по S — и p и n указываются со знаком −.

Для вычисления простой эффективной ставки аргументы задаются так: p → #Y, n → #X. При вводе данных с клавиатуры: p В↑ n.

Для вычисления сложной эффективной ставки аргументы задаются так: p → #Y, 1 / m → #X. При вводе данных с клавиатуры: p В↑ m F 1/x.

После нажатия клавиши С/П результат отобразится на индикаторе.

Выбирать функцию можно и до, и после задания аргументов. На случай, если одну и ту же функцию требуется вычислить многократно для разных аргументов, её достаточно первый раз указать явно через БП. Дальше можно просто вводить очередные аргументы и нажимать С/П: после останова управление будет возвращаться к её началу, пока не будет явно вызвана другая функция, и т. д.

Для расчётов используется только стек. Сохранять полученные результаты можно в любых адресуемых регистрах.

Примеры использования

Задачи взяты из учебного пособия «Основы финансовой математики в примерах и задачах», разработанного для студентов экономического факультета и факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета для освоения учебных курсов «Финансовые вычисления» (ЭФ) и «Математические методы финансового анализа» (ФПМК).

Простой процент

Задача 0. Ссуда в размере S0 = 5‍000 ₽ выдана на n = 3 года под простую процентную ставку p = 20 % годовых. Найти сумму S, подлежащую возврату, и проценты ΔS = S − S0.

Решение: Активируем функцию простого процента — БП11. Вводим данные — 5ВП3 В↑ 20 В↑ 3 и запускаем расчёт —С/П. На индикаторе — 8000. S0 сейчас находится в #Y, поэтому накопившиеся проценты можно вычислить, нажав ↔ − 3000.

Ответ: S = 8000 ₽, ΔS = 3000 ₽.

В расчётах используют два типа временны́х баз: K = 360 — обыкновенные проценты, K = 365(366) — точные проценты. Число дней операции также может быть определено точно (по календарю) или приближённо (из расчёта, что в каждом месяце ровно 30 дней). В связи с этими различиями существуют три метода расчёта простых процентов:

Даты начала и окончания операции во всех случаях считаются за один день.

Задача 1. Ссуда в размере 100 000 ₽ выдана 10 октября под 18 % годовых. Определите размер погасительного платежа на 2 апреля следующего года (год не високосный) по методу:

  1. точных процентов с точным числом дней ссуды (365/365)
  2. обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды (365/360);
  3. обыкновенных процентов с приближённым числом дней ссуды (360/360).

Оцените, какой метод расчёта процентов выгоден банку, а какой заёмщику, и почему.

Решение: БП11. Для начала находим количества дней ссуды: точное — 22+30+31+31+28+31+2−1 = 174, приближённое — 21+30∙5+2−1 = 172. Для удобства занесём их в регистры памяти 1 и 2: 174 X→П1 172 X→П2.

  1. Точные проценты с точным числом дней ссуды:

    1ВП5 В↑ 18 П→X1 365 ÷ (n = 174/365 года) С/П 108580.82 — итоговая сумма. ↔ − 8580.82 — набежавшие проценты.

  2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды:

    1ВП5 В↑ 18 П→X1 360 ÷ (n = 174/360 года) С/П 108700 — итоговая сумма. ↔ − 8700 — набежавшие проценты.

  3. Обыкновенные проценты с приближённым числом дней ссуды:

    1ВП5 В↑ 18 П→X2 360 ÷ (n = 172/360 года) С/П 108600 — итоговая сумма. ↔ − 8600 — набежавшие проценты.

Ответ: из результатов следует, что для банка наиболее выгоден метод 365/360 (наибольшая сумма процентов), для заёмщика — 365/365 (наименьшая сумма процентов).

Сложный процент

Задача 2. Кредит в сумме 100 000 ₽ выдан на 2 года под сложную процентную ставку 30 % годовых. Найти наращённую сумму и сумму процентов.

Решение: используем функцию сложного процента — БП22 1ВП5 В↑ 30 В↑ 2 С/П 169000 ↔ − 69000.

Ответ: Наращённая сумма — 169 000 ₽, сумма процентов — 69 000 ₽.

Если срок операции n измеряется нецелым числом, то можно использовать комбинированную схему начисления процентов, когда на целую часть начисляются сложные проценты, а на дробную часть срока — простые.

Задача 3. Вклад в сумме 40 000 ₽ внесён в банк под 10 % годовых с ежегодной капитализацией. Найти сумму вклада через 3.5 года, применяя комбинированную схему начисления процентов.

Решение: вначале считаем сложный процент на целую часть срока (3) — БП22 4ВП4 В↑ 10 В↑ 3 53240. Теперь считаем простой процент на остаток (0.5) — БП11 10 В↑ 0.5 С/П 55902.

Ответ: S = 55 902 ₽.

Задача 4. Ссуда в размере 10 000 ₽ выдана на 2.5 года под 12 % годовых. Найти наращённую сумму ссуды при ежеквартальной капитализации процентов.

Решение. Проценты начисляются поквартально, т. е. m = 4 раза в год. Используем функцию неоднократного начисляемого сложного процента: БП33 1ВП4 В↑ 12 В↑ 2.5 В↑ 4 С/П 13439.164.

Ответ: S ≈ 13 439 рублей 16 копеек.

Непрерывно начисляемый процент

Задача 5. Банковский вклад предполагает непрерывное начисление процентов с силой роста 5 % годовых. Клиент внес 250 000 ₽ на 9 месяцев. Определите наращённую сумму вклада.

Решение: Используем функцию непрерывно начисляемого процента БП44 25ВП4 В↑ 5 В↑ 9 В↑ 12 ÷ (перевели месяцы в годы) С/П 259553.

Ответ: 259 553 ₽.

Если сила роста изменяется во времени, то формула непрерывных процентов имеет вид S = S0 ep1n1 + p2n2 + …, где ni — один из последовательных интервалов времени (n1 + n2 + … = n), а pi — соответствующая этому периоду сила роста.

Задача 6. Договор предусматривает непрерывное начисление процентов на сумму 50 000 ₽. Сила роста изменяется дискретно: первые два года проценты начисляются по ставке 8 %, следующие 3 года — 9 % и далее в течение 5 лет — 10 %. Найти наращённую сумму.

Решение: cрок операции разбит на 3 периода:

  1. p1 = 8 %, n1 = 2;
  2. p2 = 9 %, n2 = 3;
  3. p3 = 10 %, n3 = 5.

БП44 5ВП4 В↑

  1. 8 В↑ 2 С/П 58675.545
  2. 9 В↑ 3 С/П 76862.875
  3. 10 В↑ 5 С/П 126725.46

Ответ: 123 725 рублей 46 копеек.

Эффективная ставка

Задача 7. Три коммерческих банка предлагают разные условия вкладов сроком на полгода:

  1. 8.5 % годовых, начисление процентов в конце срока;
  2. 8 % годовых, начисление процентов ежемесячно;
  3. 8.2 % годовых, начисление процентов поквартально.

Оценить, какой банк предлагает наиболее выгодные условия для клиентов.

Решение: используем функцию эффективной ставки для каждого предложения —БП55

  1. простой процент, p = 8.5 %, годовая ставка n = 0.5. 8.5 В↑ 0.5 С/П 8.68063
  2. сложный процент, p = 8 %, период начислений — месяц, число начислений в год m = 12. 8 В↑ 12 F 1/x С/П 8.29999
  3. сложный процент, p = 8.2 %, период начислений — квартал, число начислений в год m = 4. 8.2 В↑ 4 F 1/x С/П 8.45561

Ответ: наиболее выгодный вариант вклада для клиентов предлагает 1-й банк, так как доходность по этому вкладу самая высокая.

Дисконтирование

Задача 8. Заёмщик получил от банка кредит на 3 месяца под простую процентную ставку 16 % годовых. Какую сумму получил заёмщик, если по условиям договора в конце указанного срока он должен вернуть банку 312 000 ₽?

Решение: применяем функцию простых процентов, задавая n отрицательным: БП11 312ВП3 В↑ 16 В↑ 3 В↑ 12 ÷ (перевели срок из месяцев в года) /−/ С/П 300000.

Ответ:300 000 ₽

Задача 9. Какую сумму необходимо положить на банковский вклад, чтобы через полгода сумма вклада составляла не менее 200 000 ₽? Проценты по вкладу начисляются ежемесячно по номинальной ставке 14.5 % годовых.

Решение: Срок вклада n = 0.5 (полгода), ежемесячных начислений за это время будет сделано m = 12 × 0.5 = 6. Воспользуемся функцией неоднократно насчисляемого сложного процента: БП33 2ВП5 В↑ 14.5 В↑ 0.5/−/ В↑6С/П 186094.03.

Ответ: сумма вклада должна составлять не менее 186 094 ₽.

Банковский учёт

Задача 10. Вексель номинальной стоимостью 100 000 ₽ учтён в банке за 2 месяца до его погашения по простой учётной ставке 18 % годовых. Найти сумму, полученную владельцем векселя при его учёте, и будущий доход банка.

Решение: используем функцию расчёта простой процентной ставки с отрицательным значением p: БП11 1ВП5 В↑ 18/−/ В↑ 2 В↑ 12 ÷ (перевели срок из месяцев в годы) С/П 97000. Sn сохранился в #Y, поэтому для вычисления дохода банка просто нажимаем − — 3000.

Ответ: при учёте векселя его владелец получил 97 000 ₽, будущий доход банка — 3 000 ₽.

Банковский учёт применяется также в кредитных операциях, когда проценты за пользование кредитом удерживаются заранее — в момент его выдачи, заёмщик получает сумму за их вычетом.

Задача 11: Кредитор и заёмщик договорились, что из суммы кредита 15 000 ₽, выданного на 2 года, сразу же удерживаются проценты по простой ставке 10 % годовых. Найти сумму, которую получил заёмщик и размер процентов, полученных кредитором.

Решение: используем функцию расчёта простой процентной ставки с отрицательным значением p: БП11 15ВП3 В↑ 10/−/ В↑ 2 С/П 12000 − 3000.

Ответ: заёмщик получил 12 000 ₽, а кредитор заработал 3 000 ₽.

Исходный код

00. ПП		01. 67		02. ↔		03. Fx<0	04. 08		05. ↔		06. F1/x	07. ↔		08. F⟳		09. ×
10. С/П		11. ↔		12. FВx		13. К|x|	14. ×		15. БП		16. 00		17. Fln		18. ×		19. Feˣ
20. ×		21. С/П		22. ПП		23. 66		24. БП		25. 17		26. ПП		27. 67		28. Fln		29. ×
30. Feˣ		31. ×		32. С/П		33. ×		34. FВx		35. F⟳		36. ↔		37. F⟳		38. F⟳		39. F⟳
40. ÷		41. БП		42. 26		43. С/П		44. ×		45. 2		46. F10ˣ	47. ÷		48. Feˣ		49. ×
50. БП		51. 43		52. F10ˣ	53. ×		54. С/П		55. ×		56. FВx		57. F1/x	58. ПП		59. 66
60. Fxʸ		61. 1		62. −		63. 2		64. БП		65. 52		66. ↔		67. 2		68. F10ˣ	69. ÷
70. 1		71. +		72. В/О

У данной программы имеются две любопытные особенности. Во-первых, программный код расположен так, чтобы начало вычисления каждой функции приходилось на адрес, составленный из удвоенной младшей цифры кода соответствующей клавиши:

Во-вторых, можно заметить, что функции как бы разорваны: сначала идёт хвост функции с командой останова, за которой находится начало функции. Сделано это для уплотнения кода: длина функций не равна в точности 11 шагам, и если разместить функции просто по адресам вызова, между одними останутся неиспользуемые шаги, а другие не поместятся в отведённое пространство. Поскольку программа предусматривает возможность повторного вызова функций, это требует «закольцовывающей» команды перехода: здесь она после выполнения начала функции передаёт управление на её хвост, после отработки которого программа останавливается на команде С/П, непосредственно предшествующей началу этой функции.

Программу разработал, перевёл в формат эмулятора и составил эту инструкцию Адам Лаврик — 2026-04-27